Sucesiones y series

María Concepción Ayón Caballero
Teresita del Niño Jesús Maldonado Salazar

Asesoras de la UPN 094 Centro

El más grande árbol nace de una semilla, una torre de nueve pisos comienza con un puñado de tierra y un camino de mil leguas inicia con un paso.

Proverbio chino

Como se los ofrecimos en los dos números anteriores de nuestra revista, en este artículo desarrollaremos el concepto de sucesión. Es importante comprender este concepto ya que muchas situaciones y fenómenos de la vida cotidiana se presentan en forma de sucesiones y progresiones.

Asimismo es importante para la construcción de un pensamiento lógico-matemático, desde la educación preescolar que las y los docentes incorporen este concepto a su práctica cuando les piden a sus alumnos que formen sucesiones con objetos o figuras, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Una sucesión es un conjunto ordenado de números u objetos formado de acuerdo con una ley. Cada elemento de ella se denomina término. Se dice que una sucesión es finita si hay un primer y un último términos y se dice que es infinita si no tiene un primer o un último término, ejemplos:

Finita: 1, 8, 15, 22, 29, 36. Infinita: 3, 7, 11, 15, 19, ...

Existen diversos tipos de progresiones, las más comunes son las aritméticas y las geométricas, que a continuación se explican.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una serie de números en donde cada número difiere del número anterior en una cantidad fija llamada diferencia común, ejemplos:

    a) 2, 4, 6, 8, 10, 12...        la diferencia común es 2
    b) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35... la diferencia común es 5
    c) 10, 20, 30, 40, 50...        la diferencia común es 10
    d) 50, 57, 64, 71...            la diferencia común es 7

e) Calcular la suma de los números enteros de 1 al 100.

Para sumar los términos de una progresión aritmética, el algoritmo consiste en escribir los números en dos ecuaciones, una en orden normal (ecuación a ) y la otra en orden inverso (ecuación b), estas dos ecuaciones se suman, formando una tercera ecuación (ecuación c) de la que se deriva el siguiente resultado:

    (ecuación a) S = 1+ 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
    (ecuación b) S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
     Sumando ambas ecuaciones
    (ecuación c) 2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101

f) Encontrar la suma de la progresión 50, 57, 64, 71,

Puedes comprobar el resultado si sumas cada uno de los términos.

Podemos generalizar estos dos ejemplos utilizando el siguiente modelo matemático (un modelo matemático es la generalización de una situación a través de una fórmula).

Donde:

S es la suma de la progresión

n número de términos de la progresión

a primer término de la progresión

u último término de la progresión

d diferencia común

Para calcular el último término de la progresión se tiene el siguiente modelo matemático:

u = a + ( n – 1 ) d

Ejemplos de algunas situaciones donde se apliquen los modelos matemáticos anteriores:

g) Un estudiante ahorra para comprar una motocicleta. La primer semana guarda $50.00, la segunda $60.00, la tercera $70.00, y así sucesivamente, por 40 semanas ¿Cuánto dinero tendrá al final de ese tiempo ?

a = 50 ; d = 10 ; n = 40 ; u = ? ; S = ?

se procede a calcular el valor del último término que corresponde al valor del dinero que ahorró en la semana No. 40:

u = a + ( n – 1 ) d

u = 50 + ( 40 – 1 ) 10 = 440

para calcular el total de lo que ahorró se tiene:

La respuesta de lo que ahorró en 40 semanas es $ 9 800.00.

Si dudas de la respuesta puedes comprobarla sumando $50.00, + $60.00, +$70.00, + $80.00 + ... hasta completar las 40 semanas.

Aplica el procedimiento anterior para resolver los siguientes problemas. Si lo realizas correctamente llegarás a la respuesta indicada en cada ejemplo:

1) En cierta escuela se efectúa una rifa con el fin de obtener fondos para un paseo de la siguiente forma: se hacen 100 boletos numerados del 00 al 99 y cada uno de ellos se mete en un sobre y se cierra , La persona que desee comprar un boleto escoge un sobre, y el número impreso en el boleto corresponde a la cantidad de dinero que tendrá que pagar, en pesos . Por ejemplo, si al abrir el sobre el boleto marca el número 18, se tendrán que pagar $ 18.00 por él . ¿Cuánto dinero se obtendrá al vender todos los boletos?.

a = 00 ; d = 1 ; u = 99 ; n = 100 S = ?

La respuesta es $ 4 950. 00

2) En una fábrica hay un montón de tubos de acero acomodados en forma triangular, tal como se muestra en la siguiente figura. Si en la hilera inferior hay 57 tubos, ¿Cuántos hay en total?

O
OO
OOO
OOOO
OOOOO
OOOOOO
OOOOOOO

a = 1 ; d = 1 ; n = 57 ; u = 57 ; S = ?

La respuesta es 1 653 tubos

3) Al final de su primer mes de trabajo, Carlos ahorra $500.00. A partir de entonces guarda $ 150.00 más que el mes anterior. ¿Cuánto habrá ahorrado al término de un año?

a = $ 500.00 ; d = $150.00 ; n = 12 ; u = ? ; S = ?

La respuesta es $ 15 900.00

4) Si un alumno incrementa su lectura diaria en una página y el día de hoy lee 15 páginas, ¿ Cuánta páginas leerá en el día No 30 ?.

a = 15 ; d = 1 ; n = 30 ; u = ?

La respuesta es 44 páginas

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una serie de números llamados términos en donde cada uno de ellos equivale al número anterior multiplicado por una constante denominada razón.

Ejemplo 1

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,......la razón común es 2

3, 9, 27, 81, 243,............la razón común es 3

Calcular la suma de la progresión 2, 4, 8, 16,... , 256, 512, 1 024, 2 048.

Para sumar los términos de una progresión geométrica, el algoritmo consiste en escribir los números en dos ecuaciones, una en orden normal (ecuación a) y la otra se obtiene multiplicando la primera ecuación por la razón (ecuación b). Estas dos ecuaciones se restan y se forma una tercera ecuación ( ecuación c), como se observa a continuación:

(ecuación a) S = 2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1 024 + 2 048

(ecuación b) 2S = 4 + 8 + 16 + ... + 1 024 + 2 048 +4 096

Antes de restar la ecuación a de la ecuación b se reacomodan las ecuaciones como se muestra:

(ecuación b) 2S = 4 + 8 + 16 + ... + 1 024 + 2 048 + 4 096

(ecuación a) - S = -2 – 4 – 8 – ... – 512 – 1 024 – 2 048

(ecuación c) S = - 2 + 0 + 0 + ... + 0 + 0 + 4 096

De aquí se obtiene lo siguiente:

S = -2 + 4 096 = 4 094

Ejemplo 2

Calcular el último término de una progresión geométrica que inicia con 3 y avanza con una razón de 5 si se sabe que son 8 términos:

Una forma de calcularlo es:

3 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 234,375

Otra forma es:

3 x 5⁷ = 234 375

Para encontrar este valor en la calculadora, dependiendo del modelo y la marca, las reglas generales son las siguientes:

5 —> y^x —> 7 —> x —> 3 —> = 234 375

En la figura se describe la secuencia de teclas a oprimir en la calculadora y el resultado al que se llega.

De aquí podemos determinar el siguiente modelo matemático:

u=ar^n-1

Donde :

u = último término de la progresión

a = primer término de la progresión

n = número de términos de la progresión

r = razón

aplicando la fórmula, se tiene:

u = 3(5)^8-1 = 3(5)⁷ = 234 375

Para determinar la suma de esta progresión se procede de las siguiente forma:

3 + 15 + 75 + 375 + 1 875 + 9 375 + 46 875 + 234 375 = 292 968

O aplicando el siguiente modelo matemático:

Ejemplos de algunas situaciones donde se apliquen los modelos matemáticos anteriores:

1) Si usted coloca $ 1.00, en el primer cuadro de un tablero de ajedrez, $ 2.00 en el segundo cuadro, $ 4.00 en el tercero, $ 8.00 en el cuarto y así sucesivamente, doblando cada vez la cantidad, determinar lo siguiente:

a) Calcular el número de pesos del cuadro No. 10, y la cantidad de pesos que se han acumulado.

El número de pesos del cuadro No. 10:

b) Calcular lo indicado anteriormente en el cuadro No. 17.

La respuesta es: u = $ 65,536 ; S = $ 131 071

2) La población de cierta ciudad era de 3’000 000 de habitantes en el año 1999. Si la población aumenta cada año a un ritmo del 3.2 %, determinar:

a) el número de habitantes para el año 2005

a = 3 000 000 ; r = 1.032 ; n = 7 ; u = ?

u =ar ^n-1

u = 3,000,000 (1.032) ^7-1 = 3,624,094

b) el número de habitantes para el año 2009

La respuesta es 3’983 259 habitantes

3) El teleauditorio de un exitoso programa de televisión se ha incrementado en un 8% mensual, ¿que teleauditorio tendrá ahora si hace 7 meses tenía 10 000 000?

a = 10’000 000 ; r = 1.08 ; n = 8 ; u = ?

La respuesta es 17’138 243

4) Una persona consigue un préstamo de $ 20 000.00 en un banco, la tasa de interés que se le va a aplicar es del 3.8 % mensual. Calcular la cantidad total de dinero que va a pagar en 6 meses.

a = 20 000 ; r = 1.038 ; n = 7 u = ?

La respuesta es $ 25 015.78

Si has seguido paso a paso el artículo y realizado los ejercicios que te hemos propuesto, estamos seguras que lograste comprender los conceptos y aplicarlos a problemas concretos. Es importante que como docentes nos apropiemos de estas nociones y las apliquemos en la vida cotidiana. Favorezcamos que nuestros alumnos y alumnas construyan un pensamiento lógico-matemático de una forma interesante y amena, así posibilitaremos un aprendizaje significativo. Las matemáticas son un mundo fascinante, ¡perdámosle el miedo!